Siempre se ha considerado que 3º de Primaria era el curso adecuado para iniciar la multiplicación, pero en los últimos años vemos como las editoriales de los libros de texto la adelantan a 2º Los programas educativos de la actual ley hablan de una “iniciación”, pero en los libros de texto se entra abiertamente en la memorización de las tablas de multiplicar y en el aprendizaje del algoritmo tradicional, ni siquiera la representación gráfica de la multiplicación como suma de sumandos iguales se realiza apenas.
Los niños y niñas que están terminando el primer ciclo de Primaria pueden iniciarse en la multiplicación, pero desde una perspectiva constructivista, con materiales manipulativos y no poniendo todo el énfasis en el aprendizaje de “cuentas".
Comenzamos…
1ª sesión:
Enséñame con tus regletas:
• Tres veces la regleta azul.
• Cuatro veces la regleta amarilla
¿Cómo escribimos en lenguaje matemático las regletas que me habeis enseñado?
• Tres veces la regleta azul es 9+9+9, pero también 9x3
• Cuatro veces la regleta amarilla es 5+5+5+5, pero también es 5x4
2ª sesión:
Enséñame con tus regletas:
• Cinco veces la regleta verde oscuro.
• Una vez la regleta naranja y la rosa
¿Cómo escribimos en lenguaje matemático las regletas que me habeis enseñado?
• Cinco veces la regleta verde oscuro es 6+6+6+6+6 y también es 6x5.
• Una vez la regleta naranja y la rosa es 10+4
El concepto matemático que tienen que adquirir en estas primeras sesiones es la diferencia entre multiplicación y suma: una suma de sumandos iguales la podemos expresar como una multiplicación, pero no lo podemos hacer cuando sumamos dos números distintos.
Desde el principio identificamos en la expresión de multiplicación la palabra “veces” con el cardinal de repeticiones y además este número lo expresamos en segundo lugar, detrás del signo de multiplicar, tal y como se hace en la notación de las tablas de multiplicar.
3ª sesión:
Trabajamos con una ficha impresa para identificar en los siguientes grupos de regletas cuando se puede escribir como una multiplicación y cuando solo se puede hacer con una suma:
• En un grupo formado por cinco regletas rosas, lo podemos escribir como una suma (4+4+4+4+4) pero también como una multiplicación (4x5).
• En un grupo formado por una regleta marrón y una roja solo lo podemos escribir como suma: 8+2.
4ª sesión:
“Construimos” con las regletas la tabla del 4:
• Una vez la regleta rosa se escribe con lenguaje matemático: 4x1=4
• Dos veces la regleta rosa se escribe 4x2=8
• Cinco veces la regleta rosa se escribe como 4x5=20
• ¿Y ocho veces la regleta rosa?
Tenemos también una ficha impresa con distintos grupos de regletas rosas. Tienen que colorear las siluetas y escribir como suma y como multiplicación cada uno de los grupos.
5ª sesión:
Escuchamos, leemos y recitamos la canción de la tabla del 4 (Miliki):
• 4x1=4, lo sabía hace rato.
• 4x2=8, los botones que me abrocho.
• 4x3=12, con el agua no te mojes.
• 4x4=16, quince almendras y una nuez. Etc.
También propongo para el día siguiente que inventen nuevas rimas. Las leemos en voz alta y selecciono alguna para hacer un texto fotocopiable.
Esta canción comienza a ser muy querida por la clase, la quieren oir con frecuencia y terminan sabiéndola de memoria. Incluso la cantamos en las excursiones.
6ª sesión:
Volvemos a “construir” una tabla, en este caso la del 3. Utilizamos el material manipulativo, escribimos la tabla completa y ordenamos. Les resulta fácil memorizarla y “juego” con ellos a continuarla: ¿Y cuánto es 3x11? ¿y 3x12?
Volvemos a hacer una ficha donde se representan grupos de regletas que tienen que escribir como suma y como multiplicación, aunque en este caso no lo vamos a completar con una canción.
7ª sesión:
Les pido a los alumnos que vuelvan a realizar el “muro” del 9 tal y como hacíamos el curso pasado cuando estudiábamos las parejas y la descomposición de este número. Comienzan con todas las parejas y a continuación lo hacen con tríos de regletas, con cuatro, etc.
Les pregunto si han encontrado una manera de hacer una fila tan larga como la regleta azul usando solo regletas iguales. Todos han encontrado que tres veces la regleta verde claro es equivalente a la regleta azul. Muchos son capaces de escribir en la pizarra en lenguaje matemático lo que han encontrado (3x3=9).
Además han establecido otras equivalencias en que usan varias regletas iguales pero tienen que completar con otra más para hacer una fila tan larga como la azul. Al escribirlo en la pizarra llegamos a la expresión 4x2+1 o 2x4+1 y les indico la necesidad de usar un paréntesis para aislar la multiplicación, con lo que nos queda: (4x2)+1=9 y (2x4)+1=9.
A continuación les doy una ficha impresa en que están dibujadas algunas de las expresiones anteriores. Las pueden comprobar con las regletas encima, colorearlas y escribir la expresión matemática para cada fila.
8ª sesión:
Iniciamos la construcción de la tabla del 5. Repetimos el esquema de las anteriores y esta vez también completamos con una canción:
“Multiplica dando un brinco, 5x1=5.
Multiplica de una vez, 5x2=10.
Multiplica como un lince, 5x3=15. Etc.
También hacemos la ficha gráfica de la tabla del 5 igual que hicimos con la del cuatro y la del tres.
9ª sesión:
Hoy vamos a realizar el “muro” del 15
Como es lógico, cada muro es distinto. Les indico que sigan el orden siguiente: primero las regletas iguales y después en grupos de regletas iguales completando la equivalencia con otra. Como es la segunda vez que hacemos esta actividad, cuando todos han terminado, me van nombrando los grupos y yo los escribo en la pizarra, pidiendo ayuda para escribirlos en lenguaje matemático:
• 3x5=15
• 1x15=15
• (4x3) +3=15
• (2x7) +1=15
• (6x2) +3=15
• (6x2) +2+1=15
La mayoría entienden la idea, cuando usan solo regletas iguales y cuando suman usando paréntesis. Interiorizan muy bien que el multiplicador es el número de veces que se repite el número que representa la regleta.
José Antonio Fernández Bravo siempre ha sostenido en sus ponencias que la descomposición de un número es anterior a las operaciones que implican su construcción, sea con una suma o con una multiplicación. Al trabajar con las regletas Cousinaire que tres veces 5 es 15, no es una “verdad” explicada por el maestro o fruto de aplicar una tabla de multiplicar memorizada, sino la constatación de una realidad a la que se ha llegado manipulando y comprobando, desechando combinaciones y eligiendo otras; es un material autocorrectivo de primera.
10ª sesión:
Continuamos con la tabla del 6. Repetimos el esquema de las anteriores: manipulación, representación gráfica y simbolización, es decir escribir la tabla del 6.
Para ayudar a su memorización utilizamos también la calculadora, pero tenemos un problema: si van tecleando cada uno de los productos que la forman, incluyendo el signo de “igual” y también el de borrar pantalla para pasar al siguiente, la operación se hace engorrosa y no contribuye a la interiorización de que la tabla del 6 se construye sumando este número al resultado de la multiplicación anterior; por eso hay que realizarla como una suma de factor constante, en el que ellos y ellas tienen que recitar el producto (6x1, 6x2, etc) y solo con apretar la tecla de igual van saliendo los números que forman la tabla del 6 (6, 12, 18…). Además no tenemos que parar en 6x10, sino que podemos seguir recitando y comprobando: 6x11, 6x12, etc
11ª sesión:
Damos un cambio en las actividades y pregunto hoy antes de repartir las regletas:
“Imaginaos que tenemos grupos de regletas iguales. Hacemos una fila con cada uno de ellos haciendo un tren en el que cada vagón es una regleta. ¿Qué “tren” de los siguientes es más largo?
• 4 regletas amarillas
• 2 regletas azules
• 6 regletas verde claro. “
El reto les coge de sorpresa y se dejan llevar todos por el aspecto perceptivo: o bien son dos regletas azules porque la identifican como la mayor de las que hemos nombrado o bien contestan que será mayor el último porque 6 es el número mayor.
Todos verifican ahora con las regletas que el tren mayor es el primero. Eso sí, hay que dejar claro que para compararlos tienen que estar en paralelo y partiendo los tres de la misma línea.
Ninguno de los alumnos y alumnas propone una “solución matemática” al reto, así que propongo repetirlo, pero antes de comprobarlo tienen que aventurar una solución al problema de que tren será más largo. Pronto van descubriendo que basta con transformar en una multiplicación cada “tren” de regletas y hallar la solución de ella.
A partir de ahora este ejercicio lo vamos a realizar con frecuencia, como complemento a otras actividades o formando parte de los ejercicios de cálculo (mental, por supuesto) que regularmente les pongo en la pizarra. Siempre que quieran lo pueden hacer con las regletas.
12ª sesión:
En sucesivas sesiones vamos a intercalar las “construcciones” de algunas tablas más, como la del 10 y la del 2 después, con más actividades de descomposición de números mediante multiplicaciones y sumas (los “muros”). Como ya conocen la dinámica de trabajo, lo realizan con notable autonomía, dedicación y entusiasmo.
En la “construcción” del “muro” del 12:
• Descubren las equivalencias mediante manipulación y autocorrección.
• Expresan en lenguaje matemático las relaciones, con multipl.icaciones, sumas y paréntesis.
Y además:
• Entienden el verdadero sentido de la propiedad conmutativa, al descubrir unas cuantas posibilidades de expresar el 12 con multiplicaciones: 4x3, 3x4, 6x2, 2x6 y 1x12.
• Están empezando a tener contacto con la divisibilidad aunque sea de una manera muy intuitiva y perceptiva: el 12 lo podemos descomponer con regletas de 3, 4, 2 y 6, pero no lo podemos hacer con la regleta del 5. En cambio el 15 si lo podemos hacer con la del 3, pero también con la del 1
13ª sesión:
¿Qué rectángulo es mayor?
Al preguntarles acerca del rectángulo mayor, la mayoría se deja llevar por la impresión perceptiva y piensan que es mayor el primero porque es más largo. Precisamos que el rectángulo mayor es el que necesitaría más regletas blancas si quisiéramos hacerlo así (o cuadrículas si nos referimos a la ficha gráfica).
. Algunos pocos, entonces, simplemente cuentan las cuadrículas, pero van cayendo en cuenta de que es suficiente con contar una fila y sumarla las veces que está repetida, o simplemente multiplicarla. La sorpresa es que los tres rectángulos son iguales porque equivalen a 60 regletas blancas, y lo más importante, podemos saber la respuesta haciendo una multiplicación.
A partir de ahora, este tipo de ejercicio lo resuelven todos los alumnos y alumnas con una multiplicación.
14ª sesión:
Cuando ya se han realizado varios ejercicios del modelo anterior, podemos introducir alguna variante, por ejemplo: “¿Qué figura de las siguientes es mayor?”:
Como vemos, aplican una expresión algebraica para resolver la pregunta, descomponen la figura en un rectángulo y una regleta más que sumamos a la multiplicación.
15ª sesión
“Multiplica con tus regletas: 12x3”
Algunos niños y niñas no necesitan el material manipulativo y calcular tres veces doce es una operación de cálculo mental que no les supone ninguna complicación aunque lo haga sumando 12+12+12. Para la mayoría respetar los pasos es importante, así que todos y todas colocan sobre sus mesas 12, 12 y 12. Solamente una niña coloca 12 y 3.
El siguiente paso es descubrir que tres veces doce son tres veces diez y tres veces dos: 12x3= (10x3)+(2x3)
Seguimos realizando multiplicaciones:
• 12x5=
• 13x3=
• 22x4=
• 25x3= etc.
Están intuyendo la propiedad distributiva de la multiplicación y la aplican al cálculo aunque no la nombremos expresamente.
Después de varias sesiones con multiplicaciones y regletas, realizamos en paralelo las tablas del 20 o del 30:
20x1=
20x2=
20x3=
20x4= etc.
Con este paso está cumplido el objetivo de iniciar la multiplicación en la enseñanza Primaria desde un enfoque constructivista. Dejaremos para el siguiente curso el aprendizaje de algoritmos basados en números y que utilicen las propiedades de la numeración y elcálculo.
16ª sesión:
Además de las regletas Cousinaire, hay que plantear situaciones de la vida cotidiana que se resuelvan con una multiplicación, por ejemplo:
• Cuatro niños y dos manos cada uno.
• Cuatro niños y 10 dedos cada uno
• Tres ventanas y cinco macetas en cada una.
• Cinco mesas y 7 lápices en cada una.
Generalmente no se conforman con plantear una multiplicación sin importar el orden de los factores, sino que tienen en cuenta (tal y como han aprendido al construir las tablas) que el segundo factor o multiplicador es el número de veces que se repite el primero. Así, “tres estanterías y siete libros en cada una” es tres veces siete, y por tanto 7x3.
Cuando les pido la actividad contraria, que a partir de una expresión matemática inventen un problema que se resuelva con dicha expresión, observo dos tipos de enunciados. Para comprobar mejor este aspecto, un día les pido que realicen de forma individual y personal la siguiente actividad en un folio que yo voy a recoger.
“Inventa un problema que se resuelva con 36x5.”
La mitad de la clase inventa un problema que se puede resolver con una multiplicación, pero que en su planteamiento hacen una “suma repetida”, sin cardinalizar las veces que se repite. Un ejemplo:
“Cada día mi hermana se encuentra 36 minerales, el lunes se encontró 36, el martes 36, el miércoles 36, el jueves 36 y el viernes 36. ¿Cuántos minerales ha encontrado mi hermana?” Respuesta: 36x5=180 minerales.
La otra mitad de la clase realiza una expresión que podemos llamar de “multiplicación” en sentido estricto, porque al expresar las veces que se repite el factor, dejan establecidas las relaciones entre los dos “universos” que forman una multiplicación. Ejemplos:
“Yo leo 36 libros cada día. ¿Cuántos libros leo en 5 días?”
Respuesta: 36x5=180 libros.
“Yo doy de comer a 36 niños pobres cada día. ¿A cuántos niños doy de comer en 5 días” Respuesta: 36x5=180 niños..
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